Preço E Cobertura De Forex Planície Baunilha Opções

Opção de baunilha O que é uma opção de baunilha Uma opção de baunilha é um instrumento financeiro que dá ao detentor o direito, mas não a obrigação, de comprar ou vender um ativo subjacente, um título ou moeda a um preço predeterminado dentro de um determinado período de tempo. Uma opção de baunilha é uma chamada normal ou opção de colocação que não tem características especiais ou incomuns. Pode ser para tamanhos padronizados e vencimentos, e negociados em uma troca, como o Chicago Board Options Exchange ou tailor-made e negociados ao balcão. BREAKING DOWN Vanilla Option Pessoas, empresas e investidores institucionais podem tirar proveito da versatilidade de opções para projetar um investimento que melhor atenda sua necessidade de proteger uma exposição ou especular sobre o movimento de preços de um instrumento financeiro. Se uma opção de baunilha não é o ajuste certo, eles podem explorar opções exóticas, como opções de barreira. Opções asiáticas e opções digitais. As opções exóticas têm características mais complexas e geralmente são negociadas ao balcão que podem ser combinadas em estruturas complexas para reduzir o custo líquido ou aumentar a alavancagem. Chamadas e Puts Existem dois tipos de opções de baunilha: chamadas e puts. O proprietário de uma chamada tem o direito, mas não a obrigação, de comprar o instrumento subjacente ao preço de exercício, o proprietário de uma venda tem o direito, mas não a obrigação, de vender o instrumento ao preço de exercício. O vendedor da opção é por vezes referido como o seu escritor vender a opção cria uma obrigação de comprar ou vender o instrumento se a opção é exercida pelo seu proprietário. Cada opção tem um preço de exercício que pode ser pensado como seu alvo. Se o preço de exercício for melhor do que o preço no mercado no vencimento, a opção é considerada no dinheiro e pode ser exercida pelo seu proprietário. Uma opção de estilo europeu exige que a opção seja no dinheiro na data de validade de uma opção de estilo americano pode ser exercida se estiver no dinheiro em ou antes da data de validade. O prêmio é o preço pago para possuir a opção. O tamanho do prêmio é baseado em quão próxima é a greve do preço atual do mercado a termo para a data de vencimento, a volatilidade do mercado e a maturidade das opções. Maior volatilidade e maior vencimento aumentam o prêmio. Uma opção ganha valor intrínseco à medida que o preço de mercado se aproxima ou supera o preço de exercício. O proprietário da opção pode vendê-lo antes da expiração por seu valor intrínseco. Exotic Options Existem muitos tipos de opções exóticas. As opções de barreira incluem um nível que, se alcançado no mercado antes da expiração, faz com que a opção comece a existir ou deixe de existir. As opções digitais pagam ao proprietário se um determinado nível de preço for atingido. As opções de opções asiáticas dependem do preço médio negociado do instrumento subjacente durante a vida da opção. Opções de estrutura combinar baunilha e opções exóticas para criar tailor-made results. Plain Vanilla BREAKING Down Plain Vanilla Por exemplo, uma opção simples baunilha é o tipo padrão de opção, um com uma data de vencimento simples e preço de greve e sem recursos adicionais. Com uma opção exótica, como uma opção knock-in. Uma contingência adicional é adicionada para que a opção só se torna ativa quando o estoque subjacente atinge um ponto de preço definido. Fundamental Vanilla Basics plain baunilha é um termo para descrever qualquer activo comercializável. Ou instrumento financeiro, no mundo financeiro que é a versão mais simples e mais padrão desse ativo. Ele pode ser aplicado a categorias específicas de instrumentos financeiros, como opções ou títulos, mas também pode ser aplicado a estratégias de negociação ou modos de pensar em economia. Por exemplo, uma opção é um contrato que dá ao comprador dessa opção o direito, mas não a obrigação, de comprar ou vender um ativo subjacente a um preço específico em ou antes de uma determinada data. Uma opção de baunilha é uma chamada regular ou opção de venda, mas com termos padronizados e sem características incomuns ou complicados. Como, por exemplo, as opções de venda dão a opção de vender a um preço predeterminado (dentro de um determinado período de tempo), elas protegem contra um estoque que vai abaixo de um determinado limite de preço dentro desse prazo. As regras mais específicas sobre opções, como a maioria dos instrumentos financeiros, podem ter estilos diferentes associados a regiões, como uma opção de estilo europeu versus uma opção de estilo americano. Mas o termo baunilha ou baunilha simples pode ser usado para descrever qualquer opção que é de uma variedade padrão, clara. Em contraste, uma opção exótica é exatamente o oposto, e envolve características muito mais complicadas ou circunstâncias especiais que separam tais opções das opções mais comuns americanas ou européias. As opções exóticas estão associadas a mais riscos, uma vez que requerem uma compreensão avançada dos mercados financeiros para executá-los corretamente ou com êxito e, como tal, são negociados ao balcão. Exemplos de opções exóticas incluem opções binárias ou digitais, em que os métodos de pagamento diferem em que oferecem um pagamento final de montante fixo, sob certos termos, ao invés de um pagamento que aumenta gradualmente à medida que o preço dos ativos subjacentes sobe. Outras opções exóticas incluem opções Bermuda e opções de ajuste de quantidade. Para apontar para outro exemplo do uso de plain vanilla, há também swaps de baunilha simples. Os swaps são essencialmente um acordo entre duas partes para trocar seqüências de fluxos de caixa por um período predeterminado de tempo em termos como pagamento de taxa de juros ou pagamento de taxa de câmbio. O mercado de swaps não é negociado em bolsas comuns, mas sim um mercado de balcão. Devido a isso e à natureza dos swaps, grandes empresas e instituições financeiras dominam o mercado, com investidores individuais raramente optando por trocas de swaps. Um simples swap de baunilha pode incluir um simples swap de taxa de juros de baunilha em que duas partes entram em um acordo onde uma parte concorda em pagar uma taxa fixa de juros sobre um determinado valor em dólares em datas especificadas e por um período de tempo especificado. A contraparte efetua pagamentos sobre uma taxa de juros flutuante para a primeira parte no mesmo período de tempo. Trata-se de uma troca de taxas de juros em certos fluxos de caixa e é usada para especular sobre as mudanças nas taxas de juros. Há também swaps simples de commodities de baunilha e swaps de moeda estrangeira em baunilha. Plain Vanilla in Context A baunilha simples também é usada para descrever conceitos financeiros mais generalizados. Um simples cartão de baunilha é um cartão de crédito bem definido com termos simplesmente definidos. Uma abordagem de financiamento simples é chamada de estratégia de baunilha. Essa abordagem simples de baunilha foi solicitada por muitos no mundo das finanças política e acadêmica após a recessão econômica de 2007, devido em parte às hipotecas de risco que contribuíram para um mercado imobiliário abatido. Durante a administração Obama, alguns políticos, economistas e outros empurraram para uma agência reguladora que incentivaria uma abordagem simples para financiar hipotecas, estipulando entre outros princípios que os credores teriam de oferecer hipotecas padronizadas e de baixo risco para os clientes. Em geral, na esteira da crise financeira global de 2007. Houve um empurrão para tornar o sistema financeiro mais seguro e justo. Este modo de pensar reflecte-se na aprovação da Lei de Reforma de Dodd-Frank Wall Street e de Defesa do Consumidor em 2010, que também permitiu a criação do Gabinete de Protecção Financeira do Consumidor (CFPB). O CFPB impõe a proteção de risco do consumidor em parte através da regulação de opções de financiamento que exigem uma abordagem plain-vanilla. Opções de Moeda Explicado Uma opção de moeda é um tipo de contrato de derivativos de câmbio que confere a sua O direito, mas não a obrigação, de se envolver em uma transação de forex. Para saber mais sobre forex trading, visite forex para dummies aqui. Em geral, a compra de uma opção assim permitirá que um comerciante ou hedger optar por comprar uma moeda contra outra em um montante especificado por ou em uma data específica para um custo inicial. Este direito é concedido pelo vendedor de opções em troca de um custo inicial conhecido como o prêmio de opções. Em termos de seu volume de negociação, opções de forex atualmente fornecem cerca de 5 a 10 do volume de negócios total visto no mercado de câmbio. Terminologia de opção de moeda Um jargão bastante específico é usado no mercado forex para especificar e referir-se a termos de opções de moeda. Alguns dos termos mais comuns de opções são definidos abaixo: Exercício - O ato realizado pelo comprador de opção de notificar o vendedor que eles pretendem entregar sobre as opções subjacentes contrato de forex. Data de Vencimento - A última data em que a opção pode ser exercida. Data de Entrega - A data em que as moedas serão trocadas se a opção for exercida. Opção de Compra - Confere o direito de comprar uma moeda. Opção de Venda - Confere o direito de vender uma moeda. Premium - O custo inicial envolvido na compra de uma opção. Preço de Exercício - A taxa a que as moedas serão trocadas se a opção for exercida. Opção de moeda Fatores de preço O preço das opções de moeda são determinados por suas especificações básicas de preço de exercício, data de vencimento, estilo e se é uma chamada ou colocar em quais moedas. Além disso, um valor de opções também depende de vários fatores determinados pelo mercado. A taxa de câmbio interbancária vigente para cada uma das moedas O nível de volatilidade implícita atual para a data de vencimento Volatilidade implícita nas opções de moeda A quantidade de volatilidade implícita é exclusiva dos mercados de opções e está relacionada com o padrão anualizado Variações cambiais esperadas pelo mercado durante a vida útil das opções. Os fabricantes de mercado de opção estimam este fator de preço chave e geralmente o expressam em termos percentuais, comprando opções quando a volatilidade é baixa e vendendo opções quando a volatilidade é alta. Exemplo de negociação de opção de moeda Ao negociar opções de moeda, primeiro você precisa ter em mente que o tempo realmente é dinheiro e que todos os dias você possui uma opção provavelmente irá custar em termos de tempo decadência. Além disso, esta deterioração tempo é maior e, portanto, apresenta mais de um problema com opções de curto prazo do que com opções de longa data. Em termos de um exemplo, considere a situação de um comerciante forex técnico que observa um triângulo simétrico nos gráficos diários em USDJPY. O triângulo também estava se formando ao longo de várias semanas, com uma estrutura de onda interna bem definida que dá ao comerciante certeza considerável de que uma fuga é iminente, embora não saibam em que direção ele irá ocorrer. Além disso, a volatilidade - um elemento-chave que afeta o preço das opções de moeda - em USDJPY diminuiu durante o período de consolidação. Isso deixa as opções de moeda USDJPY relativamente baratas para compra. Para usar as opções de moeda para aproveitar esta situação, o comerciante poderia simultaneamente comprar uma opção de USD CallJPY Put com um preço de exercício colocado ao nível da linha de tendência descendente superior dos padrões de triângulo, bem como uma opção USD PutJPY Call atingida ao nível Da linha de tendência ascendente dos triângulos. Desta forma, quando ocorre a fuga e volatilidade em USDJPY novamente sobe, o comerciante pode vender a opção que não beneficiar de novos movimentos no sentido da fuga, mantendo a outra opção para se beneficiar ainda mais do movimento esperado medido do gráfico padronizar. Usos de opções de moeda As opções de moeda têm desfrutado de uma reputação crescente como ferramentas úteis para hedgers para gerenciar ou segurar contra o risco de câmbio. Por exemplo, uma empresa norte-americana que procura proteger-se contra um possível influxo de libras esterlinas devido a uma venda pendente de uma subsidiária da U. K. poderia comprar uma libra esterlina putU. S. Dólar chamada. Exemplo de Hedging de Opção de Moeda Em termos de uma estratégia de hedge de moeda usando opções, considere a situação de um exportador de bens de mineração na Austrália que tem uma expedição antecipada, embora ainda não determinada, de produtos de mineração destinados a serem enviados para refinamento adicional para os Estados Unidos Onde serão vendidos por dólares americanos. Eles poderiam comprar uma opção de compra de dólar Aussie. Dólar colocar opção no montante do valor antecipado daquela remessa para que eles, então, pagar um prémio antecipadamente. Além disso, a data de vencimento escolhida poderia corresponder ao momento em que se esperava que a remessa fosse paga na íntegra e o preço de exercício poderia ser no mercado atual ou a um nível para a taxa de câmbio AUDUSD em que a remessa se tornaria não lucrativa para a empresa . Alternativamente, para economizar no custo do prêmio, o exportador só poderia comprar uma opção para quando qualquer incerteza sobre a remessa e seu destino era susceptível de ser removido e seu tamanho era esperado para vir a ser virtualmente assegurada. Neste caso, eles poderiam então substituir a opção por um contrato a termo para vender dólares dos EUA e comprar dólares australianos no tamanho agora conhecido do negócio. Em ambos os casos, quando os produtores de mineração AUD CallUSD Put opção expira ou é vendido, quaisquer ganhos obtidos sobre ele deve ajudar a compensar as mudanças desfavoráveis ​​no preço da taxa de câmbio subjacente AUDUSD. Mais usos das opções de moeda Opções de Forex também fazem um veículo especulativo útil para comerciantes estratégicos institucionais para obter perfis de lucro e perda interessantes, especialmente quando negociação em vista de mercado de médio prazo. Mesmo comerciantes forex pessoais lidar em tamanhos menores podem trocar opções de moeda em bolsas de futuros, como o Chicago IMM, bem como através de algumas corretoras forex varejo. Alguns corretores de varejo também oferecem STOP ou Single Payment Option Trading produtos que custam um prémio, mas fornecem uma recompensa em dinheiro se o mercado negocia ao preço de exercício. Isso é semelhante a uma opção de moeda exótica binária ou digital. Estilos de opção de moeda e opções de exercício As opções de moeda regular vêm em dois estilos básicos que diferem quando o titular pode optar por usá-los ou exercê-los. Tais opções são sabidas também frequentemente como a baunilha simples ou as opções justas da moeda de baunilha para distingui-las das variedades mais exóticas da opção cobertas em uma seção mais atrasada deste curso. O estilo mais comum negociado no Over-the-Counter ou mercado de câmbio OTC é a opção de estilo europeu. Este estilo de opção só pode ser exercido em sua data de expiração até um certo tempo específico de corte, normalmente às 3pm de Tóquio, Londres ou Nova York. No entanto, o estilo mais comum para opções sobre futuros cambiais, como os negociados na Chicago IMM exchange, é conhecido como estilo americano. Este estilo de opção pode ser exercido a qualquer momento até e incluindo a sua data de validade. Esta flexibilidade de opções de estilo americano pode adicionar valor extra ao seu prémio em relação às opções de estilo europeu que às vezes é chamado de Ameriplus. No entanto, o início do exercício de opções de estilo americano geralmente só faz sentido para as opções de chamada de dinheiro na moeda de alta taxa de juros, e vender a opção em vez será geralmente a melhor escolha na maioria dos casos. Declaração de Risco: Trading Foreign Exchange sobre margem carrega um alto nível de risco e pode não ser adequado para todos os investidores. Existe a possibilidade de você perder mais do que seu depósito inicial. O alto grau de alavancagem pode trabalhar contra você, bem como para you. Pricing e hedging de opções simples de baunilha FX Transcrição 1 Preços e cobertura de opções de baunilha FX simples Um estudo empírico sobre o desempenho de cobertura de um hedge delta dinâmico Black-Scholes com atualização Volatilidade implícita sob o pressuposto da dinâmica subjacente de Heston e Black-Scholes, respectivamente, na interpolaçãoextrapolação dos preços das opções. Jannik Noslashrgaard Mestrado Finanças Teses Supervisor: Elisa Nicolato Departamento de Estudos Empresariais Aarhus School of Business, Universidade de Aarhus Agosto 2011 2 c Jannik Noslashrgaard 2011 A tese foi digitada com o Computer Modern 12pt Layout ea tipografia é feita pelo autor usando LA TEX O autor Gostaria de agradecer ao seguinte: A minha supervisora ​​Elisa Nicolato, Investigadora na Aarhus School of Business no Grupo de Investigação Financeira, Aarhus, Dinamarca para aconselhamento. Um agradecimento a Matthias Thul, PhD Candidato em Finanças na Australian School of Business, Nova Gales do Sul, Sydney, Austrália para responder a perguntas. Agradeço às pessoas que me ajudaram a ter acesso aos terminais da Bloomberg na Universidade de Aarhus, bem como aos funcionários da mesa de serviço da Bloomberg para responder às minhas perguntas. Por último, graças à Nordea por me ter proporcionado o acesso à plataforma Nordea Markets, a Nordea Analytics, de onde eu coletei dados suplementares. 3 Quero aproveitar a oportunidade para agradecer aos meus pais o seu apoio incondicional durante os meus anos de estudo. 4 Resumo A tese mostra evidências contra o pressuposto de Black-Scholes de um processo de difusão para o preço do log de ativos que tem incrementos normais estacionários e independentes, resultando em uma distribuição log-normal dos retornos de ativos, considerando uma série temporal de taxas spot sobre o EURUSD E o USDJPY cobrindo um período de anos recentes. As observações de distribuições exibindo altos picos e quotfat tails assim como observações de agrupamento de volatilidade são suportadas por evidências empíricas de heterocedasticidade, implicando que a volatilidade dos retornos não é constante ao longo do tempo e evidência de autocorrelação. Para calibrar o modelo de Heston eo modelo de Black-Scholes aos preços de mercado em opções simples do call de baunilha a tese trata as convenções de troca extrangeiras específicas e considera a diferença aqui entre o EURUSD e o USDJPY. Um conjunto de dados de 371 dias de negociação recentes são coletados de cotações publicadas na Bloomberg onde cada modelo é calibrado para um conjunto de preços de opção em cada dia para obter uma medida de ajuste de qualidade geral que mostra o desempenho superior do modelo de Heston. No caso de ambos os pares de FX subjacentes, a superfície de volatilidade é negativamente inclinada ao longo do período considerado. Com base nas calibrações, é estabelecida uma experiência de hedge de grande escala, onde um número de opções simples de chamada de baunilha com diferentes prazos de vencimento e greves é vendido em cada dia. Uma hedge Delta Delta Delta com atualização da volatilidade implícita simulada em cada um dos modelos resulta em um melhor desempenho de hedging quando a dinâmica subjacente segue o modelo de Heston. Além disso, observamos que o erro de hedge está correlacionado com os retornos subjacentes. 5 Conteúdo Conteúdo Lista de figuras Lista de tabelas i iii v 1 Introdução 1 2 Problema Demonstração Pesquisa Delimitação Delimitação O FX Mercado FX taxa FX forward contrato Opções FX O Black-Scholes modelo Geométrica Brownian Movimento A Black-Scholes equação A Garman-Kohlhagen fórmula Simulação Do modelo de Black-Scholes Fatos empíricos A distribuição dos retornos de FX O modelo de Heston O processo A solução Simulação do modelo de Heston Dados de mercado 29 i 6 7.1 Convenções de cotação Recuperando a volatilidade implícita Descrição dos dados 35 9 Calibração dos modelos Construindo a volatilidade implícita no mercado Superfície Calibração do modelo de Heston Calibração do modelo de Black-Scholes Objetivo Função Resultados de calibração Estudo empírico sobre os desempenhos de cobertura Tamanho do estudo Níveis de greve Carteira de hedge Resultados Conclusão 55 Bibliografia 57 A Recuperando o preço de exercício correspondente a um prêmio incluído Delta 60 B Construindo o mercado implícita volatilidade superfície 63 C Calibrati On do modelo de Heston 76 D Calibração do modelo de Black-Scholes 82 E Simulação do modelo de Heston 85 F Simulação do modelo de Black-Scholes 89 G Sem hedge 92 H Dynamic BS Delta Hedge com imp de atualização. Vol. Do modelo Heston 97 I Dynamic BS Delta Hedge com imp de atualização. Vol. Do modelo Black-Scholes 109 ii 7 Lista de figuras 5.1 Freqüência de amostra empírica para EURUSD Freqüência de amostra empírica para USDJPY QQ parcela para EURUSD QQ parcela para USDJPY Retorno diário de log para EURUSD Retorno diário para USDJPY Autocorrelação para EURUSD Autocorrelação para USDJPY Volante volátil Para EURUSD Volatilidade histórica de rolamento para USDJPY Uma semana média móvel de kappa Uma semana média móvel de theta Uma semana média móvel de eta Uma semana média móvel de rho Uma semana média móvel de vt Call preços 1M em EURUSD 14 Preços de chamada 1Y em EURUSD 14 Imp . Vol. 1M em EURUSD 14 Imp. Vol. 1Y em EURUSD 14 Preços de chamada 1M em EURUSD 61 Preços de chamada 1Y em EURUSD 61 Imp. Vol. 1M em EURUSD 61 Imp. Vol. 1Y em EURUSD 61 Preços de chamada 1M em USDJPY 14 Preços de chamada 1Y em USDJPY 14 Imp. Vol. 1M em USDJPY 14 Imp. Vol. 1Y em USDJPY 14 Preços de chamada 1M em USDJPY 61 Preços de chamada 1Y em USDJPY 61 iii 8 9.20 Imp. Vol. 1M em USDJPY 61 Imp. Vol. 1Y em USDJPY 61 Desenvolvimento em EURUSD spot rate Desenvolvimento em USDJPY taxa spot iv 9 Lista de Tabelas 5.1 Teste de Jarque-Bera na normalidade Teste de Levene sobre igualdade de variâncias Premium incluído Delta Conversão de um Delta Delta incluído em Strike Média trimestral e desvio padrão de A bondade de ajuste dos parâmetros de Heston Média trimestral e desvio padrão da bondade de ajuste do parâmetro de Black-Scholes Valores de parâmetro de Heston em 142010 e 612010 em valores de parâmetro de Heston de EURUSD em 142010 e 612010 em valores de parâmetro de USDJPY Black-Scholes em 142010 e 612010 Em EURUSD e USDJPY Número de opções sob investigação Número de expirações de opções em períodos trimestrais Nível Delta em média de opções de compra em curto prazo EURUSD no início Nível Delta em média de opções de compra USDJPY em curto prazo no início Número de opções de compra EURUSD com prazo de vencimento Número De USDJPY opções de compra que expiram no-o-dinheiro O lucro e perda médio eo desvio padrão no erro de cobertura w Introdução Em um mundo financeiro que tenha experimentado falhas de mercado começando com a Segunda-Negra em 1987 a introdução de movimentos extremos de mercado deram origem à reconsideração dos pressupostos por trás da precificação de instrumentos financeiros como opções Tanto em ações como em divisas. No passado, os participantes do mercado e os profissionais se basearam mais no modelo de Black-Scholes e na suposição sobre os retornos de ativos, enquanto que hoje os preços de mercado das opções não refletem os preditos pelo modelo de Black-Scholes. Em vez disso, surgiu uma família de modelos de volatilidade estocástica, com o modelo de Heston sendo o mais conhecido, com suposições mais realistas sobre a distribuição de probabilidade dos retornos dos ativos hoje. Ainda assim, o modelo Black-Scholes é aplicado por participantes do mercado e praticantes em evasão que evitam suas falhas. Esta tese incorpora a aplicação de ambos os tipos de modelos e tenta descobrir erros de precificação e, em um estudo empírico, investiga se um é preferível ao outro dado um preço específico e definição de cobertura. No capítulo 3, começamos por uma introdução ao mercado de FX e opções de baunilha simples FX, que são negociadas em balcão (OTC). Este fato influencia os dados coletados para representar os preços de mercado, que neste caso é recuperado da Bloomberg onde uma superfície de arbitragem de volatilidade livre é relatada a partir de uma coleção de cotações de opção de vários contribuintes representando as maiores instituições financeiras do mundo. Ao contrário das opções negociadas em bolsa que são cotadas com uma data de vencimento fixa e com o início de novas opções apenas em datas fixas, da Bloomberg somos fornecidos com um conjunto completo de novas opções todos os dias cobrindo a mesma gama de vencimentos apenas com a vencimento um Dia mais tarde do que os dias anteriores cotadas opções. O Capítulo 4 abrange o modelo Black-Scholes (BS) e suas premissas sobre retornos de ativos lognormally distribuídos. Com interesse específico no preço das opções de FX, apresentamos a fórmula Garman-Kohlhagen, que é uma extensão simples para o modelo BS. Neste capítulo, além disso, introduzimos o conceito de função de densidade de probabilidade implícita e avaliação neutra de risco. Finalmente, apresentamos a simulação do modelo BS. No Capítulo 5, analisamos a distribuição dos retornos de log FX considerando uma amostra de taxas de câmbio spot de anos recentes e comparamos isso com a hipótese de retornos distribuídos log-normais no modelo BS. As conclusões aqui inspiradas para considerar diferentes suposições sobre a distribuição de retornos log, o que nos leva a introduzir um modelo de volatilidade estocástica no próximo capítulo. O Capítulo 6 introduz o processo e a solução de forma fechada ao modelo de Heston. Na calibração do modelo de Heston calibramos para esta solução de forma fechada por integração numérica. Além disso, apresentamos a simulação do modelo de Heston que é realizada em uma estrutura de solução de mistura simulada em um esquema de Milstein. Antes do estudo empírico, apresentamos o capítulo 7, que explica as convenções de cotação específicas de FX. Mais abrangente do que outros mercados opção o mercado de opções FX tem uma ampla gama de convenções possíveis que precisam ser devidamente tratadas, a fim de ser capaz de construir uma superfície de volatilidade com base nas cotações no mercado. Mais especificamente, as volatilidades são cotadas em estruturas comerciais que precisam ser convertidas. Além disso, as opções são citadas em termos de Delta na dimensão moneyness. Dependendo da convenção Delta do par FX específico, precisamos usar uma técnica de estimativa numérica para recuperar o nível de ataque. O Capítulo 8 consiste em uma visão geral dos dados usados ​​no estudo empírico. No capítulo 9, calibramos o modelo BS eo modelo Heston para cada dia de 371 dias de negociação no período de 14 222011. Apresentamos a função objetivo e seu esquema de ponderação herdada que é comum para ambos os modelos. Além disso, analisamos a sensibilidade da superfície de volatilidade para a alteração dos parâmetros de Heston observando dois dias diferentes. Também uma comparação entre a capacidade dos dois modelos de se ajustarem aos preços de mercado observados é feita pelo cálculo da bondade de ajuste para cada modelo. No capítulo 10 apresentamos a estratégia de hedging consistindo em um hedge Delta Delta Delta com atualização da volatilidade implícita simulada no modelo BS e simulada no modelo de Heston. Mais especificamente, protegemos uma série de opções de compra em curto prazo com diferentes prazos de vencimento e de greve. Identificamos então quais os elementos que alteram o valor da carteira de hedge. Finalmente, apresentamos os resultados do estudo comparando o modelo de BS como uma ferramenta na interpolaçãoextrapolação da atualização 12 12 volatilidade implícita ao modelo de Heston, comparando o desempenho de hedge da mesma cobertura de Delta da BS. 3 13 2 Declaração de Problemas Neste estudo consideramos os dois pares de FX EURUSD e USDJPY. Começamos com as seguintes perguntas introdutórias de pesquisa: I. Como os retornos de FX são distribuídos considerando um período dos últimos anos II. Como observado por (Reiswich e Wystrup, 2010), o procedimento de construção do sorriso e os mecanismos de citação de volatilidade são específicos de FX e diferem entre si. Significativamente de outros mercados. Os participantes do mercado que entram no mercado de derivativos OTC FX são confrontados com o fato de que o sorriso volatilidade geralmente não é diretamente observável no mercado. Ao contrário de outros mercados, o sorriso FX é dado implicitamente como um conjunto de restrições implícitas por instrumentos de mercado. Isso nos leva à pergunta: III. Como lidar com as convenções de cotação específicas FX, a fim de acabar com os preços de mercado na opção plain baunilha. Os autores estudam o desempenho do hedging do modelo BS e do método de Vanna-Volga partindo do princípio de que a superfície de volatilidade do mercado é determinada pela dinâmica de Heston calibrada Para um determinado horizonte temporal. A estratégia de hedging é então construída para neutralizar os fatores incertos no modelo de Heston que consistem no ponto e na volatilidade. Do mesmo modo, contamos com uma construção dependente do modelo da superfície de volatilidade por calibração do modelo BS e do modelo Heston, respectivamente, aos preços de mercado observados. 4 14 IV. O modelo de Black-Scholes e Heston, respectivamente, reflete um conjunto de preços de mercado sobre as opções simples de baunilha em um período recente. Então, usamos essas calibrações para investigar o quão bem uma estratégia de hedge Delta pura, com o Delta calculado como um BS Delta, é capaz de replicar o pagamento de um simples vanilla FX contrato de opção de compra. Criamos um cenário onde um conjunto de opções européias de FX de baunilha simples com diferentes prazos e prazos são vendidos todos os dias durante um período de 371 dias de negociação. Através da cobertura delta de cada contrato de opção individualmente até à sua expiração, obtemos o erro de cobertura que expressamos como a diferença entre o pagamento do contrato de opção ea carteira de cobertura. Dois experimentos são estabelecidos onde calculamos o Delta BS dinamicamente com uma volatilidade de atualização do modelo de Black-Scholes e uma volatilidade implícita de atualização do modelo de Heston. Isto conduz às perguntas de pesquisa finais: V. Aplicando um hedge Delta dinâmico de BS com atualizar a volatilidade implícita sob o pressuposto de Black-Scholes dinâmica subjacente, que é o desvio padrão do erro de hedge para cada contrato de opção VI. Aplicando uma hedge Delta Delta Delta com atualização da volatilidade implícita sob o pressuposto da dinâmica subjacente de Heston, qual é o desvio padrão do erro de hedge para cada contrato de opção VII. 2.1 Abordagem de Pesquisa Apontamos e defendemos nossa escolha de abordagem de pesquisa em três áreas da tese: A inclusão de dois pares de FX diferentes, a construção da superfície de volatilidade implícita eo intervalo Dos preços das opções utilizados para construir a superfície de volatilidade implícita. Optamos por incluir tanto o EURUSD como o USDJPY no estudo devido, principalmente, a uma razão. As convenções de cotação para os dois pares são diferentes e, incluindo as duas, mostramos como lidar com essas diferentes convenções de citação. Além disso, a superfície de volatilidade desses dois pares tem historicamente formas diferentes, com o EURUSD mostrando mais um sorriso simétrico e o USDJPY mostrando uma inclinação de passo (Bossens, Rayee, Skantzos e Deelstra, 2010) (Beneder e Elkenbracht-Huizing, 2003), (Chalamandaris e Tsekrekos, 2008). Como outros estudos, trata-se de uma tentativa de cobrir um conjunto diferente de condições de mercado (Bossens, Rayee, Skantzos e Deelstra, 2010). 5 15 Calibramos dados brutos onde nenhuma interpolação ou extrapolação tiver ocorrido de antemão. Alternativamente, poderíamos ter usado uma parametrização SVI (Gatheral, 2006) ou alguma outra forma funcional para construir a superfície e depois calibrar para um conjunto de preços interpolados e extrapolados. Nós calibramos para apenas um número poucos de opções contando 5 diferentes maturidades e 5 diferentes greve níveis. Isso é feito por duas razões. Primeiro, queremos calibrar somente dados brutos que ainda não foram interpolados no próprio esquema de interpolação da Bloomberg, o que pode ser visto em (Bloomberg, 2011). A interpolação da Bloomberg é baseada em ATM, Delta 25 e 10 cotações Delta e se disponível também e Delta 5 (Bloomberg, 2009). Esse fato nos garante que apenas calibramos dados brutos. Em segundo lugar, um grande esforço foi dedicado ao desenvolvimento de métodos capazes de construir a superfície de volatilidade implícita total com apenas um conjunto pequeno de preços de opções (Malz, 1997), (Reichswich e Wystrup, 2010). Em um mercado de opções OTC, muitas vezes apenas alguns preços está disponível e queremos restringir este estudo para incluir apenas os preços que são mais frequentemente disponíveis. Esta tese utiliza a mesma gama de preços de opção da mesma fonte que em U. Wystrup e D. Reiswich s artigo quotFX Volatilidade Smile Constructionquot (Reiswich e Wystrup, 2010) usando o ATM, 10D RR, 25D RR, 10D VWB e 25D Citações de VWB publicadas em Bloomberg. 2.2 Delimitação A tese é limitada em áreas onde adições traria mais precisão e detalhe no estudo. Para testar um modelo de preços para suas especificações erradas, uma experiência de hedging clássica como a realizada em (Bakshi, Cao e Chen, 1997) e (Elices, 2011) poderia ser feita. Aqui, eles testam a capacidade de um modelo de replicar uma opção de recompensa, tomando posições em todos os ativos necessários para neutralizar o risco com esse número, dependendo da hipótese do modelo de precificação determinado. Para o modelo de Heston isso implica tomar uma posição tanto no subjacente como em outra opção para obter uma cobertura delta-neutra. Nesta tese, nos restringimos a tomar apenas uma posição em um ativo, o subjacente. Portanto, este estudo não pode ser classificado sob este tipo de abordagem convencional. A definição de taxa de juros neste estudo é simplificada. Não houve construção de uma estrutura de prazo de taxa de juros a ser usada na simulação do preço das opções 6 16 modelos. Também não consideramos modelos de precificação de opções com taxas de juros estocásticas como em (Bakshi, Cao e Chen, 1997). Também desconsideramos o tema do risco de inadimplência nas taxas de juros, que é um tema quente hoje após as crises financeiras atuais. Nenhum modelo de salto foi considerado como uma volatilidade estocástica mais salto no modelo subjacente (SVJ). Estes tipos de modelos são melhores para refletir a superfície de volatilidade no curto prazo em comparação com um modelo de volatilidade estocástica (Gatheral, 2006). Considerando os dois pares de FX incluídos neste estudo ea forma de suas respectivas superfícies de volatilidade, um modelo SVJ pode nem mesmo ter sido capaz de melhorar o ajuste de preços em comparação com um vol. Estocástico. modelo. Os pesquisadores apontam para um ajuste necessário da cotação de volatilidade em mercados com distorção acentuada (Reiswich e Wystrup, 2010), (Bossens, Rayee, Skantzos e Deelstra, 2010), (Castagna, 2010). Sobre as convenções de cotação no mercado de opções de câmbio e a importância do ajuste específico da vega ponderada borboleta (VWB) citação, o seguinte é dito. Uma inconsistência do mercado que pode ser ignorada em muitas situações e configurações de preços, mas pode ter um profundo impacto sobre a volatilidade da superfície de construção em outros. (Castagna, 2010, página 116). Excluímos as estimativas de tal ajuste. Provavelmente a limitação mais importante deste estudo é o número de simulações utilizadas. Isto diz respeito à simulação do modelo de Heston e do modelo BS na experiência de hedging criada. A precisão dos preços no modelo de Heston poderia ser melhorada aumentando o número de simulações, resultando em um desempenho de hedging ainda melhor, assumindo. 7 17 3 Mercado FX 3.1 Taxa de câmbio Uma taxa de câmbio (taxa de câmbio) é o preço de uma moeda em termos de outra moeda. As duas moedas fazem um par de moedas. Como exemplo, este poderia ser o par de moedas denominado EURUSD. Esta é a taxa de câmbio de dólares eurous e até o final do dia de negociação no dia 1 de maio de 2011 este foi cotado em Esta é a convenção sobre como citar esta moeda particular cruzar, mas é equivalente a USDEUR. Que é apenas o valor recíproco da primeira taxa de câmbio. A taxa de câmbio EURUSD indica quantos dólares americanos valem 1 euro. A moeda doméstica (numeraire) é o dólar e a moeda estrangeira (base) é o euro. De modo geral, a taxa de câmbio é o preço da moeda base em termos da moeda numeraire. A última vez que um dólar americano valia mais do que um euro foi no dia 4 de Dezembro de 2002, dia em que a taxa de câmbio foi cotada em Desde que, após a introdução de moedas e notas de euro em 1 de Janeiro de 2002, esta foi a única Ano em que o dólar dos EU tem valido mais do que o euro, refletido em uma taxa de troca menos do que o contrato futuro de FX O contrato a prazo fornece uma proteção para alguém que quer travar na taxa de troca para uma transação futura. O comprador de um contrato a termo é então garantido uma taxa de câmbio futura. O preço a termo é decidido como F 0 S 0 e (rd r f) T (3.1) 8 18 O ativo subjacente em tais contratos é um certo número de unidades da moeda estrangeira. A variável S 0 é definida como o preço à vista em moeda nacional de uma unidade da moeda estrangeira e equivalentemente F 0 é o preço a termo em moeda nacional de uma unidade da moeda estrangeira. As taxas de juros internas e externas são as taxas de juros sem risco continuamente composta por ano Paridade da taxa de juros A equação 3.1 é exatamente a paridade da taxa de juros, que em sua forma de composição contínua é freqüentemente equacionada como F (t, T) T) (T t) (3.2) ou pelas suas convenções do mercado monetário para a capitalização e o desconto, isto é, a composição simples (Castagna, 2010, p.7) F (t, T) (1) (T t) (3.3) onde rf e rd são as taxas de juro sem risco por ano e (Tt) seguem a convenção temporal de 360 ​​dias de negociação num ano. De acordo com a paridade da taxa de juro, a taxa de câmbio a prazo de um determinado par de moedas é determinada pelas respectivas taxas de juro sem risco. Como exemplo, consideramos um detentor de uma unidade de moeda estrangeira. Há duas maneiras que este pode ser convertido na moeda corrente doméstica no tempo T. Um está investindo o para (T t) anos em rf e ao mesmo tempo vendendo um contrato a termo. Então, no momento T você seria obrigado a vender o produto do investimento para recolher moeda nacional. A outra possibilidade é trocar a moeda estrangeira para a doméstica no mercado spot e, em seguida, investi-los em r d por (T-t) anos. Na ausência de oportunidades de arbitragem, a equação 3.4 deve ser realizada (Hull, 2008, p.131), que é exatamente a equação 3.2 reescrita. A paridade da taxa de juros aqui apresentada também é chamada de paridade da taxa de juros coberta como oposta à paridade da taxa de juros descoberta (Oldfield e Messina, 1977). O primeiro vem do fato de que a estratégia de negociação é livre de risco. Isto é oposta a este último onde você como um detentor da moeda estrangeira ainda investir em rf, mas em vez de entrar simultaneamente em um contrato a termo, você, em vez manter sua posição em moeda estrangeira descoberto e exposto ao movimento na taxa de câmbio De t para (Tt). Pesquisas empíricas mostram que, para os países desenvolvidos, a paridade da taxa de juros coberta se mantém relativamente bem. Prior to the dismantling of capital controls, and in many emerging markets today (interpreted as political risk associated with the possibility of governmental authorities placing restrictions on deposits located in different jurisdictions), the covered interest rate parity is unlikely to hold (Chinn, 2007). From an option pricing point of view the covered interest parity is an underlying assumption in one of the option pricing models introduced later on here. 3.3 FX options FX options are traded Over-The-Counter (OTC) as opposite to exchange traded options. As a trading platform an exchange serves as a link between a buyer and a seller. The exchange will be providing bid and ask quotes and will be on either one or the other end of the transaction. The market making is in this case carried out by the exchange. In the case of FX options there is no exchange involved in the transaction. A trade will be processed directly between buyer and seller. In one setting, one might think of a buyer being a corporation that is trading from a hedging or speculative point of view and the seller being a bank. On the FX options market one might think of the banks as market makers providing the prices on options and other FX derivatives. In order to hedge a foreign exchange exposure FX options are an alternative to FX forward contracts. The payoff from a long position in a European call option is max(s T K, 0) (3.5) and the payoff from a long position in a European put option is max(k S T, 0) (3.6) with S T being the spot exchange rate at maturity T of the option and K the agreed upon strike price. 10 20 Assuming we have the pair EURUSD, two counterparties entering into a plain vanilla FX option contract can agree on the following, according to the type of option traded: Type EUR call USD put: The buyer has the right to enter at expiry into a spot contract to buy (sell) the notional amount of EUR (USD), at the strike FX rate level K. Type EUR put USD call: The buyer has the right to enter at expiry into a spot contract to sell (buy) the notional amount of EUR (USD), at the strike FX rate level K. Considering, as an example, the last type listed above, an American company due to receive euro at a known time in the future can hedge its risk by buying put options on euro that mature at that time. This strategy guarantees that the value of the euros will not be less than the strike price while still allowing the company to benefit from any favorable upward movements in the exchange rate. Similarly, if the company where to pay euros in the future they could hedge their expose to upward movements in the exchange rate by buying calls on euros, the first type listed above. whereas forward contracts locks in the exchange rate for a future transaction and guarantees the parties an exchange rate, as described above, an option provides a type of insurance. It costs nothing to enter into a forward contract, whereas options require a premium to be paid paid up front in order to be insured. 11 21 4 The Black-Scholes model This chapter reviews the most well-known option pricing model, The Black-Scholes model (Black and Scholes, 1973), because of its inclusion in the empirical study. Also it remains the building block of present option pricing models, including the Heston model and the Bates model. 4.1 Geometric Brownian Motion Black-Scholes assumes the underlying spot price to follow a geometric Brownian motion generating log-normally distributed returns, the spot price in this case being the exchange rate on any given FX pair. The process is stochastic by including a Wiener process that introduces the randomness to the spot price. ds t micros t dt sigmas t dw S t (microdt sigmadw ) (4.1) The spot price S t depends on S t itself, a constant drift, micro, a constant volatility term, sigma, and a standard Wiener process, W t, where dt is denoting a time differential. In order to obtain the explicit solution to this stochastic differential equation (SDE) we consider equation 4.2 the process of logs, i. e. the process describing the log-returns. dlogs t (micro 1 2 sigma2 )dt sigmadz (4.2) i. e logs T logs 0 (micro 1 2 sigma2 )T sigmadz (4.3) 12 22 and the explicit solution is then obtained by taking the exponential of logs S T S 0 e (micro 1 2 sigma2 )T sigmaz T (4.4) 4.2 The Black-Scholes equation With the empirical study of this thesis in mind we have a look at the derivation of the Black-Scholes (BS) equation which is governing the BS option pricing formula. This will tell us the principle of delta hedging. Furthermore we take a look at the necessary adjustments to the Black Scholes equation in order to be able to price FX options in particular. As a note it is not in the interest of this thesis to go through the derivation of the solution to the BS equation that will lead to the BS formula. The Black-Scholes equation can be derived in many alternative ways i. e. using empirically established financial theories such as the CAPM and Arbitrage Pricing theory. The most general derivation assumes an economy with only the underlying asset and a risk-free money market depositrisk-free bond which together makes up the replicating portfolio of the value of the derivative. Meanwhile, the original derivation uses what is known as the hedging argument, and that is the derivation that we will outline here (Rouah, 2011). The derivation follows from imposing the condition that a risk-free portfolio made up of a position in the underlying asset and the option on that asset must return the same interest rate as other risk-free assets. As a result of this Black and Scholes propose that if it is possible to hedge an option position by dynamically rebalancing a stock position, then the price of a European call option should depend on the underlying spot price, S t (i. e. the FX rate), and the time to maturity on the option, T. In order to perform such a hedge Black and Scholes assumes a set of conditions to hold that they call the ideal market condition: The FX rate, S t, follows the geometric Brownian motion with known constant drift, micro, and volatility, sigma. The option can be exercised only at maturity. Trading takes place continuously in time. Money can be borrowed and lend at the same risk-free interest rate. Short selling is allowed. 13 23 Short-term risk-free interest rates (r d and r f ) are known and constant. The underlying asset pays no dividends. (This assumption is relaxed in the case of FX options.) We consider a portfolio made up of a quantity of the risky asset (i. e. the FX pair) and short one option on the FX pair (a put or a call, not yet specified). Let f(s, t) denote the value of the option and Pi(t) the value of the portfolio. Pi(t) S f(s, t) (4.5) is chosen at every time t so as to make the portfolio riskless. The self-financing assumption implies that dpi(t) ds df(s, t) (4.6) In order to decide the quantity to meet this condition we want to know the dynamics of f(s, t). Here we use Ito s Lemma, which is a rule for calculating differentials of quantities dependent on stochastic processes. df(s, t) f f dt t S ds sigma2 S 2 2 f dt (4.7) S2 and by plugging in 4.7 into 4.6 we get dpi ds ( f f dt t S ds sigma2 S 2 2 f S )dt 2 ( f )ds ( f S t sigma2 S 2 2 f )dt (4.8) S2 observing that the term ds is the only risky element to the portfolio value, we can eliminate this by setting which is satisfied if ( f S ) 0 f S (4.9) Then we have constructed a risk-free portfolio with the dynamics given in the last part of 4.8 and by a no arbitrage argument the portfolio must yield the risk-free interest rate, i. e. 14 24 dpi rpidt (4.10) Plugging the risk-free dynamics of the option value in 4.8 and the first equation 4.5 into 4.10 and rewrittin, we get the BS equation in ( f t sigma2 S 2 2 f f )dt r( S f(s, t))dt S2 S f t 1 2 sigma2 S 2 2 f f r( S f(s, t)) S2 S f t sigma2 S 2 2 f S r f S rf 0 (4.11) 2 S The derivation stipulates that in order to hedge the single option, we need to hold a quantity of the FX pair, which turns out to be the quantity f. This is the S principle behind delta hedging. Any price of a derivative with the same assumed process for the underlying as in equation 4.1 has to follow the BS equation. the equation has many solutions for the derivative price, f, where the particular price that is obtained depends on the payoff function of the given derivative. In the case of a European callput the solution is obtained in the BS formula, but for more complex payoff functions accompanied by more exotic options the analytical solution may be hard to obtain. 4.3 The Garman-Kohlhagen formula In the same year 1973 as the Black and Scholes paper was published the pricing model was quickly adjusted to include dividend paying stocks by Merton (1973). Robert C. Merton further concludes in this paper that the assumption of lognormally distributed returns and continuous trading is critical to the model. Without these, the delta hedge would not give a perfect hedge, thus making the arbitrage argument invalid. Many years later after the FX options was first listed on the Philadelphia Stock Exchange in 1982 (Exchange, 2004), the pricing model was adjusted to also be able to price FX plain vanilla options (Garman and Kohlhagen, 1983). Under similar assumptions as in Black-Scholes, that it is possible to operate a perfect local hedge between a FX option and underlying foreign exchange, Garman and Kohlhagen derive a PDE. One of the insights is that the risk-free interest rate of foreign currency r f has the same impact on the FX option price as the continuous dividend yield on the stock option. The main contribution is to combine the Black-Scholes model with the interest rate parity theory, as presented in the 15 25 beginning of this thesis. More precisely, by assuming the covered interest rate parity to hold and the underlying FX rate to follow a geometric brownian motion, the logarithmic difference between the forward, F (t, T ), and the spot, S(t), FX rates can be explained by the spread between the domestic risk-free interest rate, r d, and the foreign risk-free interest rate, r f. The resulting pricing formula for a call option in equation 4.12 is presented in its forward rate form, where the forward rate is explicitly present in the formula. This is a Black model (Black, 1976) (adjusted to price FX options), which is a variation of the original BS model and can be generalized into a class of models known as log-normal forward models. The adaption of the covered interest rate parity into the option pricing formula becomes apparent when we compare the calculation of the forward rate in Equation 4.12 to Equation 3.2. c e rd (t, t )tau) F (t, T )phi(d 1 ) Kphi(d 2 ) (4.12) d 1 F (t, t ) ln( ) 1 K 2 sigma2 tau sigma tau d 2 d 1 sigma tau F (t, T ) S t e rf (t, t )tau e rd (t, t )tau with the the equivalent spot rate form of the Garman-Kohlhagen formula c S 0 e rf (t, t )tau phi(d 1 ) Ke rd (t, t )tau phi(d 2 ) (4.13) d 1 ln( S 0 K ) (rd (t, T ) r f (t, T ) sigma2 )tau sigma tau d 2 d 1 sigma tau The foreign and domestic interest rates are risk-free and constant over the term of the option s life. All interest rates are expressed as continuously compounded rates Implied Probability Density Functions In order to establish a link between the observed option prices in the market and the characteristic shapes of the volatility surface we mention the implied risk-neutral density function (RND). 16 26 The RND in the Black-Scholes model is assumed to be lognormal with mean (r d r f v 2 2)(T t) and variance v 2 (T t). The price of an undiscounted call option is given by C(S 0, K, T ) Emax (4.14) K (s K) phi(s T, S 0 )ds (4.15) where phi(s T, S 0 ) in (4.15) is the probability density function of S T. This is a general pricing formula independent of the choice of pricing model. Pricing an option in this framework requires the knowledge of the probability density function, which is the distribution of the future spot prices. (Breeden and Litzenberger, 1978) found that provided a continuum of European call options with same maturity and a strike range going from zero to infinity written on a single underlying FX pair, we can recover the RND in a unique way by differentiating (4.15) with respect to K twice Risk-neutral valuation C K phi(s T, S 0 )ds (4.16) K 2 C K phi(s T, S 0)ds (4.17) 2 Another approach to find the price of a derivative is by risk neutral valuation or equivalently by the Martingale approach. The equivalence between the PDE approach and the risk neutral valuation is guaranteed by Feynman-Kac by establishing a link between PDEs and stochastic processes. The solution to the Garman-Kohlhagen equation can also be expressed in terms of an expectation. By the Feynman-Kac theorem we have V (S t, t) E Q e T t rs dds V (S T, T ) (4.18) where S t is the solution to the SDE (4.1) with micro r d r f. The drift is risk neutral and consists of the continuously compounded domestic interest rate net of the foreign interest rate. What (4.18) says is that the value of a contingent claim (a claim that is dependant on the underlying value) like a European option, can be calculated by finding the risk neutral expectation of the discounted terminal payoff. The terminal payoff is discounted by the domestic interest rate and the risk neutral 17 27 expectation and the Q measure involves the process of S T to evolve not as original but risk neutrally. To recapitulate the general pricing framework above, there is a connection between the existence of a replication portfolio replicating the final value of the option, and the existence of a equivalent martingale measure. They both guarantee an arbitrage-free price. This can be calculated as the current value of the replication portfolio, or as the expected value of the discounted terminal payoff of the option calculated under the risk-neutral probability measure. 4.4 Simulation of the Black-Scholes model We consider the risk neutral process in Equation (4.19) and compute the risk neutral expectation of the terminal payoff as suggested by the Feyman-Kac theorem. ds t (r d t r f t )S t dt sigma t S t dw (4.19) 18 28 5 Empirical facts 5.1 The distribution of FX returns Empirically we observe a departure from the normality assumption in the Black - Scholes model when we have a look at the distribution of log returns on EURUSD and USDJPY. In figures 5.1 and 5.2 the frequency distributions of two samples of daily log returns from 162006-532011 is pictured. A lognormal distribution with the same mean and standard deviation as the implied distribution is depicted by the solid line. The empirical distributions are highly peaked compared to the normal distribution. Furthermore from figures 5.3 and 5.4, which depict a Q-Q plot of the log returns vs. a normal distribution, we can observe that the empirical distributions of log returns does in fact exhibit fat tails and clearly deviates from the normality assumption. From the visual evidence of a highly peaked and fat tailed distribution (leptokurtic), we can conclude that small and large movements in the empirical samples occur more likely compared to normally distributed log returns. By looking at figures 5.5 and 5.6, where we plot the daily log returns of EURUSD and USDJPY, we see that large moves follow large moves (both up and down) and small moves follow small moves (both up and down). This is the so-called volatility clustering, where we observe that high and low volatility is clustered around certain time periods. This observation indicates autocorrelation, which is confirmed in Figures. -. Here the autocorrelations of absolute returns are estimated where all lags included is significantly positive. In addition to this, Figures 5.9 and 5.10 demonstrates mean reversion in the log returns by showing how volatility evens out when measured over a longer horizon. 19 29 Sample frequency Daily log - return EURUSD Sample frequency Daily log - return USDJPY Figure 5.1: Empirical sample frequency for EURUSD Figure 5.2: Empirical sample frequency for USDJPY 0.04 QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal 0.06 QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal Quantiles of Input Sample Quantiles of Input Sample Standard Normal Quantiles Standard Normal Quantiles Figure 5.3: Q-Q plot for EURUSD Figure 5.4: Q-Q plot for USDJPY Daily log return 0.06 EURUSD Year Daily log return 0.06 USDJPY Year Figure 5.5: Daily log returns for EU - RUSD Figure 5.6: Daily log returns for USD - JPY Sample Autocorrelation Function Sample Autocorrelation Function Sample Autocorrelation Sample Autocorrelation Lag Lag Figure 5.7: RUSD Autocorrelation for EU - Figure 5.8: Autocorrelation for USD - JPY 20 30 Historic vola, lity 0.3 EURUSD Year 3 month 1 year Historic vola, lity 0.35 USDJPY Year 3 month 1 year Figure 5.9: Rolling historic volatility for EURUSD Figure 5.10: Rolling histori c volatility for USDJPY Jarque-Bera To confirm our results and to find further evidence against the normality assumption underlying the Black-Scholes model we make use of the Jarque-Bera test (Jarque and Bera, 1987). Based on the sample kurtosis and skewness we test the null hypothesis that the data is drawn from a normal distribution. The null hypothesis is a joint hypothesis of the skewness being 0 and the excess kurtosis being 0, which in the latter case is the same as a kurtosis of 3. The overall conclusion by looking into tabel 5.1, when considering the full sample of log returns, is that we clearly reject the null hypothesis, that the sample data is from a normal distribution, in both the EURUSD and USDJPY case. This conclusion comes with a high degree of certainty with a significance level below 0.1. When we then have a look at the separate years considering first the EURUSD, we are able to reject in 3 out of 6 years at a significance level of 5.0, whereas for the USDJPY case this is 4 out of 6 years. When looking into the estimates of the overall skewness and kurtosis and comparing the two pairs, one observes that in terms of skewness the EURUSD deviates the most from a normal, whereas in terms of kurtosis it is the USDJPY that deviates the most from the normal. These differences in skewness and kurtosis between the two pairs is somewhat visual in figures 5.1 and 5.2 from before. Comparing the tails of the frequency distributions one might see that the EURUSD log returns has a longer right tail exhibiting more positive skewness whereas the USDJPY log returns has a longer left tail exhibiting more negative skewness (Even though apparently not enough for the full sample to be negatively skewed). Both distributions though are on an overall scale slightly positively distributed meaning that most values are concentrated on the left of the mean, with extreme values to the right (as opposite to negatively skewed distributions, where most values are concentrated on the right of the mean, with extreme values to the left). The difference in the kurtosis of the two pairs of log returns is also somewhat visual from the figures 5.3 and 5.4 from before, where the USDJPY 21 31 EURUSD Table 5.1: Jarque-Bera test on normality USDJPY period skewness excess kurtosis JB sign. level skewness excess JB sign. level gt lt 0.100 lt 0.100 lt 0.100 gt lt 0.100 gt lt 0.100 lt 0.100 log returns seems to exhibit the most kurtosis. The test statistic JB is defined as JB n 6 (S K2 ) (5.1) where n is the number of observations, S is the sample skewness in Equation 5.2 and K is the sample excess kurtosis in Equation 5.3. S circmicro 3 circsigma 3 1 n n i1 (x i x) 3 ( 1 n n i1 (x i x) 2 ) 3 2 (5.2) K circmicro 4 circsigma 4 3 1 n ( 1 n n i1 (x i x) 4 n i1 (x i x) 2 ) 3 (5.3) 2 where circmicro 3 and circmicro 4 are the estimates of the third and fourth central moments, respectively, x is the sample mean and circsigma is the estimate of the second central moment, the variance. 22 32 5.1.2 Levene Excess kurtosis might indicate heteroscedastic returns, where homoscedastic returns is the assumption underlying the Black amp Scholes model. We therefore perform the Levene s test of homoscedatic returns, where the null hypothesis is that the variance of two successive subsamples are equal as well as the variances of all subsamples. Considering the latter we strongly reject the hypothesis that the variance in the subsamples are constant thus violating the assumption in the Black Scholes model. Comparing the individual successive yearly subsamples, in the case of the EURUSD we are able to reject in 2 out of 5 cases at a significance level of 5. In the case of the USDJPY this is 4 out of 5 cases in correspondence with the superior excess kurtosis compared to the EURUSD case. Table 5.2: Levene s test on equality of variances EURUSD USDJPY period 1 period 2 volatility 1 volatility 2 Levene sig. level volatility 1 volatility 2 Levene sig. level 6.16 0.859 7.83 9.62 1.244 13.78 0.000 9.62 16.18 0.000 12.03 9.691 16.18 12.68 1.659 11.76 12.68 10.36 2.458 9.85 7.890 10.36 9.87 0.000 23 33 6 The Heston model The most well-known and popular of all stochastic volatility models is the Heston model (Gatheral, 2006) and was presented in (Heston, 1993). 6.1 The process The process followed by the underlying asset in the Heston model is with ds t micros t dt v t S t dw (1) t (6.1) dv t kappa(v t theta)dt eta v t dw (2) t (6.2) dw (1) t dw (2) t rhodt where kappa is the rate of reversion of v t to the long run variance, theta, eta is the volatility of volatility and rho is the correlation between the two stochastic increments of the processes dw (1) t and dw (2) t. The process of the underlying in (6.1) is the same process assumed in the Black Scholes model presented in (4.1) only now the volatility is stochastic. That is, another random factor is introduced by dw (2) t. What defines the specific process of the underlying in the Heston model compared to the general case of stochastic volatility models is dv t alpha(s t, v t, t)dt etabeta(s t, v t, t) v t dw (2) t (6.3) alpha(s t, v t, t) kappa(v t theta) beta(s t, v t, t) 1 24 34 where the process followed by the instantaneous variance, v t, can be categorized as a version of the square root process (CIR) in (Cox, Ingersoll Jr, and Ross, 1985). Given that the Feller condition in equation (6.4) is satisfied the variance process is always strictly positive. (Anderson, 2005) shows that this condition is often violated when calibrating the Heston model to market data. 2kappatheta eta 2 (6.4) What makes the Heston stochastic volatility model stand out from other stochastic volatility models can be adressed to two reasons. First, the volatility process is non-negative and mean reverting which is what we observe in the market. Secondly, The Heston model has a semi-analytical closed form solution for European option, which is fast and relatively easy to implement. The closed form solution is especially useful when calibrating the parameters in the model to the observed vanilla option market. This efficient computational ability of the model is characterised as the greatest advantage of the model over other potentially more realistic SV models (Janek, Kluge, Weron, and Wystup, 2010). Furthermore, after adapting the model to a FX setting, the model is described as being particular useful in explaining the volatility smile found in FX markets often characterised by a more symmetrical smile when comparing to equity markets where the structure is a strongly asymmetric skew as a consequence of the leverage effect on these markets(janek, Kluge, Weron, and Wystup, 2010). 6.2 The solution The PDE of the Heston model can be derived using the same approach as when we derive the PDE for the BS model where standard arbitrage arguments is used. In addition to the replication portfolio used to derive the BS model another asset in the form of an option is added in order to hedge the randomness introduced by the stochastic volatility. The following PDE can then be derived V t vs2 2 V S 2 rhoetavs 2 V v S eta2 v 2 V v 2 V rs S rv V v 0 (6.5) where lambda(s, v, t) is the market price of volatility risk. The closed-form solution of a European call option on an FX pair for the Heston model is S t P 1 Ke (r d r f )(T t) P 2 (6.6) 25